ہم نیورل نیٹ ورکس کو اکثر جدید ٹیکنالوجی، مصنوعی ذہانت، یا مشین لرننگ کے تناظر میں دیکھتے ہیں۔ یہ سچ ہے کہ آج نیورل نیٹ ورک، چیٹ بوٹس، خودکار گاڑیاں، تصویر اور آواز کی پہچان، اور سمارٹ سسٹمز میں بنیادی کردار ادا کر رہے ہیں۔ لیکن ایک بنیادی سوال ہے:

 کیا نیورل نیٹ ورک صرف کمپیوٹر پروگرام ہے؟ یا یہ ایک ریاضیاتی تصور بھی ہے؟

درحقیقت، نیورل نیٹ ورک کمپیوٹر سائنس کا حصہ ضرور ہے، لیکن اپنی اصل میں ایک مکمل ریاضیاتی شے (mathematical object) ہے۔

یہ مضمون اسی اہم نکتے کی وضاحت پر مبنی ہے۔

 نیورل نیٹ ورک کی ریاضیاتی ساخت

نیورل نیٹ ورک کا ہر جزو ایک ریاضیاتی فنکشن ہے۔ جب ہم اسے layers میں تقسیم کرتے ہیں، تو ہر layer ایک ایسا فنکشن ہوتا ہے جو input کو process کرتا ہے اور آگے منتقل کر دیتا ہے۔

ہر layer کا فارمولہ:

1. Linear transformation:

  z = W × x + b

2. Non-linear activation:

  a = σ(z)

یہاں:

ایکس x ان پٹ ویکٹر ہے

ڈبلیو W ویٹ میٹرکس ہے

بی b بایئس ہے

سگما σ ایکٹیویشن فنکشن ہے (جیسے ReLU، Sigmoid)

اے a آؤٹ پٹ ہے

یہی سادہ سی ریاضی ہر layer پر لاگو ہوتی ہے — اور کئی layers مل کر پورے نیٹ ورک کی تشکیل کرتی ہیں۔

 فنکشن کمپوزیشن کا عمل

نیورل نیٹ ورک کو ہم ایک بڑے کمپوزڈ فنکشن کے طور پر دیکھ سکتے ہیں:

  f(x) = fₙ(…f₂(f₁(x))…)

یعنی ہر layer ایک فنکشن ہے جو پچھلے فنکشن کے آؤٹ پٹ پر کام کرتا ہے۔ اس سے نیورل نیٹ ورک ایک ایسا ماڈل بن جاتا ہے جو پیچیدہ patterns اور nonlinear تعلقات کو بھی سیکھ سکتا ہے۔

 سیکھنے کا عمل: Calculus اور Chain Rule

نیورل نیٹ ورک “سیکھتا” کیسے ہے؟ یہ عمل pure ریاضیاتی ہے۔

1. ہم ایک loss function بناتے ہیں (مثلاً cross-entropy)

2. پھر gradient descent استعمال کرتے ہوئے error کم کرنے کی کوشش کرتے ہیں

3. اس پورے عمل میں derivatives اور chain rule استعمال ہوتے ہیں

4. بیک backpropagation algorithm اسی ریاضی پر مبنی ہے

یہ سب calculus کی زبان میں ہوتا ہے — اور اس کے بغیر نیورل نیٹ ورک سیکھ ہی نہیں سکتا۔

 نیورل نیٹ ورک کس قسم کی ریاضی پر مبنی ہے؟

نیورل نیٹ ورک کئی ریاضیاتی شاخوں پر انحصار کرتا ہے:

لینیر Linear Algebr سے  ویکٹرز، میٹرکس، ڈاٹ پراڈکٹس، matrix transformations

کیلکولس سے  derivatives، gradient descent chain rule

پرابیبلٹی Probability & Statistic: loss functions، uncertainty، regularization

Optimization Theory: error minimization، convexity

Information Theory: entropy، encoding، model capacity

یہ تمام ریاضیاتی دائرے مل کر نیورل نیٹ ورک کے اندرونی نظام کی بنیاد بناتے ہیں۔

 نیورل نیٹ ورک بطور فنکشن اپروکسی میٹر

نیورل نیٹ ورک دراصل ایسا ریاضیاتی فنکشن سیکھتا ہے:

  f: ℝⁿ → ℝᵐ

یعنی یہ input space سے output space تک ایک map بناتا ہے۔ مثلاً اگر آپ تصویر دیں، تو یہ فنکشن بتاتا ہے کہ اس میں کیا ہے — بلی، کتا، یا کچھ اور۔

یہ map خودبخود سیکھا جاتا ہے، بغیر انسان کے بتائے ہوئے اصولوں کے۔

 طلباء کے لیے اہم پیغام

اگر آپ نیورل نیٹ ورک کو صرف کوڈ لکھنے کا آلہ سمجھیں گے، تو آپ اس کی اصل طاقت سے محروم رہیں گے۔

جب آپ اسے ریاضیاتی object کی حیثیت سے دیکھیں گے، تبھی آپ اسے بہتر طریقے سے ڈیزائن، تجزیہ، اور استعمال کر سکیں گے۔

اسی لیے:

ریاضی سیکھیں (خاص طور پر Linear Algebra اور Calculus)

فنکشنز اور derivatives کی سمجھ حاصل کریں

probabilistic reasoning کو سمجھیں

optimization اور error analysis کی مشق کریں

 نتیجہ

 نیورل نیٹ ورک ایک پروگرامنگ ماڈل ضرور ہے، مگر اس کی روح خالص ریاضی پر مبنی ہے۔ یہ ایک ایسا mathematical object ہے جو فنکشنز کی کمپوزیشن، میٹرکس آپریشنز، اور calculus پر کھڑا ہے۔

اگر آپ مصنوعی ذہانت میں مہارت حاصل کرنا چاہتے ہیں، تو ریاضی کو اپنا ہتھیار بنائیں — یہی راستہ کامیابی کا ہے۔

#NeuralNetworks  

#MathematicsOfAI  

#DeepLearning  

#MachineLearning  

#AIinUrdu  

#NeuralNetworkMath  

#Backpropagation  

#FunctionApproximation  

#GradientDescent  

#LinearAlgebra  

#Calculus

تحریر: ڈاکٹر عمران جاوید ، چیٹ جی پی ٹی